本当に困っています。未使用の服、クリーニングで新しいシミが浮きでてくることあ...

そのようなことしょっちゅうありますよ。中にはいっている生地がよごれているとか、ボタンつけの際に汚れた手でおこなったとか・・・

まず、クリーニングはしてもいい洗濯表示になっていましたでしょうか？なっていてそのような事故の場合は返品しましょう。

ドライ禁止なのにしてしまって汚れが出てきた場合
もう一度メーカー以外がボタンを打ち直すのはほぼ不可能かと思います（形状によります）
事情を話して修理してもらいましょう（メーカーに）
おそらくクリーニング店サンにもあなたにもできることはありません。
レシートと事情をはなしてモンクレに電話すれば対応してくれると思いますよ。

まずは、ドライクリーニングをしていいものだったのか確認してください。さらに進展あるのなら補足入れてみてください
補足
もう一度確認ですが・・
1.インクのしみ抜きを依頼したら全体的なドライはしないで染み抜きだけしますとクリーニング店が言った
2.インクのしみは取れたが、ボタンが変色した
3.お店に預け、あとで話を聞いてみたらインクを取るときに全体クリーニングした、その際にボタンが黒ずんだということでよろしいんですよね？
連絡が無かったことと、一番最初にドライをしたことはどう関係が有るのでしょうか？いい出せなくて汚れをとろうとしていたのでしょか？

メーカーの責任であるといえると思います。クリーニング店は通常のクリーニングを行っているでしょうし何の落ち度も有りません。むしろメーカーの責任が問われるべきであり、アウトレットの商品には何をしてもいいということになってしまいます。それがもし故意なら犯罪ですよ。返品できない理由として、気に入らないとかサイズが大きかったとか現品で相互に確認の取れた取引に関しては返品勘弁してくださいということです。事情をカスタマーセンターに、領収書などを手元において事の成り行きを冷静に相談してください。
さらにクリーニング店から会社へ事情説明も必要になりますので・・・
ただ、あくまでもクリーニング店が指示通りの作業を行ったのかということが問題になってきます。文章から通常のクリーニングをおこなったということでしたので・・・たとえばクリーニング店が水洗いをしたとか（考えられませんが・・）であれば責任の所在がかわってきますね。クリーニング店とメーカーに最終的には話し合いはまかせて、あなたは双方の担当者の名前をきちんと聞いて、問い合わせをし続けましょう