『べい』と『べう』の発音を教えてください。

「べい」は「べい」で、「べう」は「びょう」と読みます。

※付帯文の澪標の読み方で注意すべきところは、

聞こえさせのたまひ置きし事もはべし【はべっし】を、今は隔てなき様に思されば嬉しくなむと、聞こえ給ひて人々召し出でてあるべき事ども仰せ給ふ。いと頼もしげに年ごろの御心ばへ取り返しつべう【とりかえしつびょう】見ゆ。

権中納言【ごんのちゅうなごん】の御むすめは弘徽殿女御と聞こゆ。大殿の御子にて、いとよそほしう持てかしづき給ふ。上も良き遊びがたきに思いたり【おぼいたり】。宮の中の君も同じ程におはすれば、うたて雛遊びの心地すべきを、大人しき御後見はいと嬉しかべい【うれしかんべい】こと。

です。

※補足に関して
垢抜けている、という指摘はその通りでしょうかね。
確かにダサいかも知れません。

というのは、これらは音便ですが、音便というのは、要するに、人が口で言いやすいようになまらせた言い方だからです。
なまった言い方は、往々にして田舎臭いものであり、「ん」や「っ」をそのように感じるのは無理のないことです。
しかし、ここは勉強の話ですから、そういう観点は一応置いておいて、音韻の問題だと割り切っていただくとよいように思います。

「はべっし」は、「はべりし」の促音便形ですが、「はべし」はその促音（「っ」）が表記されない形です。
我々は、つまった音を小さい「っ」で、「やった」「知って」のように当たり前のように表記しますが、古文ではそういう表記を発明していなかったので、なかなかうまく表現できなかったのです。

『源氏物語』では、「せっしゃう（摂政）」という用例が澪標巻に一例ありますが、墨で書かれた写本（活字本のもとにする昔の本）では、苦肉の策で「せふ正（しゃう）」と表記しています。
これは促音便ではなく、純粋に促音「っ」の話ですが、表記しにくい促音を何とか書こうと努力した痕跡です。
ただし、この「せふ正」のような事例は少なくて、普通の促音はそういう努力をせずに、単に抜かして書かれてしまうことが大半です。

つまり、「はべっし」と書けずに、しかたなく「はべし」と書いたわけであり、その頃に小さい「っ」の表記があれば書きたかったのだろうな、と推測して、「っ」を補って読むのです。

ただし、高校の先生の中にはそのことに認識がなくて、「はべし」と普通に読んでしまう先生がいるかも知れませんので、その場合は先生に失礼のないように、知らないふりをして、教えられた通り、「はべし」と読むのが賢明でしょう。

「かんべい」「なんめり」などは、上記の促音とは少し異なり、撥音「ん」の無表記形ですが、道理は上記と同じです。
要するに、「ん」の表記が定着していなかったので、抜かして書いたということで、これも補う方がよいでしょう。

ただ、促音便の無表記と違って、撥音便の無表記の方は教育現場でも常識になっていますので、先生からは恐らく「かんべい」「なんめり」と読めと指導があるはずですが、もしも「かべい」「なめり」でよいと指導されたら、その場合も先生のご指示に従うようにお勧めします。