根の先に感染があり、その広がりの状況が、しっかりCTなどのレントゲンで、確認できているか？
その担当の先生の術式の中に、感染肉芽の除去に関しての不備はないか？
同一の処置でも、行う先生の手技と、経験で、大きく、成功率は変わるのです。
３度も同じ処置していることからして、４度目はあり得ないでしょう、僕なら、別の専門の歯内治療の先生に診てもらいオペを受けます。それで、ダメなら、諦めもつくでしょう。
まづは、歯内治療の専門ドクターを探し、実際に、セコンドオピニオンをもらい、オペにかけるか、抜歯するか決める。抜歯する場合、そこに、インプラントを入れるのが良いのですが、一般歯科とインプラントを行なっているクリニックより、インプラントだけの専門クリニックで、将来インプラントを入れることを前提に骨の造成まで、含めて抜歯してもらうことをお勧めします。一般の抜歯では、先の骨吸収の経過まで判断できないし、骨造成処置の最新の知見がない場合が多いのです。

診てみないとなんとも言えませんが、費用対効果がどれくらいかが再治療と抜歯の選択にあたって重要でしょう。
基本的には持つところまで持たせてどうしても持たない時に抜歯。というスタンスで処置されていると思います。
短期間で３度の再発との記述と再治療に当たって費用がいくらかかるのか、再治療のお金で抜歯後インプラントやセラミックブリッジできるのではないかなども考慮し、担当医とよく相談の上治療を進めていってください。
文面からだけですが、そろそろ抜歯の適応期かなと考えます。

＞手術することを選択しても、無駄なことになってしまう確率がやはり高いのでしょうか？＜

主治医の先生に任せるのなら無駄だと思います。　

私が以前在籍していた研究機関の20年のデータでは歯根外部吸収の7割は根管治療のみで治ります。あとの2割は再植処置にて保存可能です。残りの1割は3年以内に脱落しました。

ですので根管治療に詳しい先生に相談されるのがいいと思います。　
歯科界の常識ですが外科や抜歯は先ず考えることではありません。

歯科治療の多くは、その先生の手技の技によって、成功率も変わりますから、やることが一緒でも、その工程の中には、多くの違いや、観察力も判断力も、識別も、器具の扱いも、加減も違うのです。ですから、先生ごとに、言うことも違うのです。
問題は、二回失敗している先生に３度目を任せるかどうかにあります。
また内部の根幹の治療もやり直すことなく、外側からの逆根幹治療を行うと言う、中途半端なやり方を二回やっていることです。一回目でも、根の中開けない場合の、被せたものなどを除去しない方法は、その根の状態を把握するために、半分以上の情報を見ていないことになります。それを二回やっている。
先生を信頼なさってるようですが、通常、一回目のオペで、どう言う処置ができているのか？なんです。こう言う処置の場合、２の矢はないつもりで、しっかり一回で、とどめを刺すくらいの、万全を期してやるものなので・・・・
MTA材の根先の充填時の止血や、根のクラックの染色確認や、根先の側枝などの確認などができているか、非常に専門的に、なりますが、この手術は、とても、難しい細かい、顕微鏡下でやる内容なんです。そう言う、積み重ねと経験があって、成功率は９０％近くあります。そう言う先生が診断して、これはどのくらいと判断してくれるかです。
でも、経験や、このオペの術式が自己流の先生なら、成功率は５０％にも届かないでしょう。何回やっても無駄で、お金を捨てるようなものです。保険とか、自費と言う、区別ではなく、信頼だけでなく、しっかり経験と技術のある先生を探しましょう。

しっかり歯を残すのなら、先生を探し選んで、最新知見による処置を受けてください。

※一部内容を修正・割愛しました（運営部）

きなこさんへ

＞外部吸収に関しては先生によって意見が異なるものなのでしょうか？＜

異なります。　結局は、絶対に抜歯はやらない！との信念が歯科医にあれば数十年も前からの国内外のレポート全てくらいは読破して意地でも努力するでしょう。

手術したら再発することはないとか外部吸収自体は原因不明で治ることはない、いずれ抜歯しかないとか、以上など根拠は全く不十分です。　世界中の50年くらいのデータを調査しまくったら先ず断定など不可能でしょうから。ですので主治医の先生は最初から抜歯を勧めてきたわけではないのならば根管治療をお願いされるのもいいと思います。　ただし、以下、参考ですが根管治療の失敗例は最低でも1％以下くらいの先生がいいでしょう。

個人的な回答になることご了承くださいね＾＾　　診ていないのですが、僕ならば抜歯かもしれません。　

それか、かなり腕のいい先生を探すかもですね・・・。　根っこの手術は、かなり技術がいりますね。　

ですので、今の先生は同じ結果が見えてるような気がしますね。

先生が、いいのはわかるのですが、歯をちゃんと治したいのであれば、やはり技術も必要だと思います。

ま、一回よく悩まれてくださいね。

追加です。
専門的なエキスパートなドクターの探し方ですが、やはり歯科業界での講習会を開催しているということは、一つの指標になります。

これらから、出てきたエキスパートのドクター達の意見を聞いて見たり、診断を受けるのはどうでしょうか？

やはり、一般的なドクターとは違い、日本中からの難しいケースを行なっているドクター達ですから、僕たち以上の見解が得られると思います。

※一部内容を修正・割愛しました（運営部）

根外吸収は、すでにその根のある部分を自己免疫が処理している状態なので、その根の全体まで影響が進行するか、経過を診るか、数年先まで、炎症病巣を抱えるリスクを考えると、骨吸収が進行しないうちに、原因根を除去するかです。
体内に炎症病巣をかかている場合の全身での影響は、多くの論文が出ています。
抜歯後は１０年くらいでだいぶ、骨の減少が進み、ブリッジの根元に、隙間が大きくなり、唾液や声が抜けるようになります。
抜歯後の２年間くらいが大きく減少が進行するので、抜歯するときに、造骨材を入れたりしますが、なかなか、適合せずある程度は排泄されます。やはりしないよりは、骨の減少は少ないですが、５年後から１０年後に、骨の吸収に合わせて、自家骨の移植などを行うのが良いでしょう。
骨の吸収減少は、前歯の場合、奥歯の歯周病の進行や、奥歯のかみ合わせ高さのすり減りによる低下に伴い、前歯のブリッジには、大きく負担が増え、作用しますから、２年毎くらいに、適時にブリッジの噛み合わせは調整しないと、支台となる歯の破折や、周囲の骨の吸収現象を促進します。
チタンのインプラントや金属も最近は、電磁波の影響などの実験も公開されていて、お口に使いたくない材料です。
２年くらいは、プロテンプ４材などの仮歯の材質を精密に作ってもらいフロスフックないセッティングで使用して、骨の経過を数年間診るのが良いでしょう。その後に、オールセラミックスブリッジをオススメします。メタルの使用は、避けた方が、僕は良いと思います。

※一部内容を修正・割愛しました（運営部）